ზონური სტრუქტურა

მჭიდრო კავშირის მოდელი (Tight-binding) — E(k) დისპერსია, აკრძალული ზონა (Band Gap), მასალების კლასიფიკაცია

პარამეტრები
ზონური სტრუქტურა E(k)
ბლოხის თეორემა

პერიოდულ პოტენციალში ელექტრონის ტალღური ფუნქცია წარმოადგენს პლანური ტალღისა და პერიოდული ფუნქციის ნამრავლს:

$$ \psi_{nk}(r) = e^{ikr} u_{nk}(r) $$
მჭიდრო კავშირის მოდელი — Tight-Binding (1D)

ყველაზე მარტივი მოდელი — ელექტრონი "ხტება" მეზობელ ატომებს შორის t ენერგიით:

$$ E(k) = -2t\cos(ka) $$

t > 0 — გადახტომის ინტეგრალი (eV). a — მესერის პარამეტრი. k — ტალღის ვექტორი პირველ ბრილუენის ზონაში.

აკრძალული ზონა (Band Gap)

Δ პარამეტრი განსაზღვრავს ატომებს შორის პოტენციალის სხვაობას. Band Gap = 2|Δ|:

$$ E_g = 2|\Delta| $$
ტიპიEg (eV)მაგალითი
მეტალი0Cu, Al, Au
ნახევარგამტარი0.1–3.0Si, Ge, GaAs
იზოლატორი> 3.0SiO₂, diamond
პირველი ბრილუენის ზონა

1D მესერისთვის k-სივრცე შემოიფარგლება პირველი ბრილუენის ზონით:

$$ k \in \left[-\frac{\pi}{a},\, \frac{\pi}{a}\right] $$
ნაბიჯ-ნაბიჯ გზამკვლევი
1
რეალური მასალა
"რეალური მასალები" ჩანართში — Si, Ge, GaAs, Cu, SiO₂. ნახავთ ზონების E(k) გრაფიკს და Band Gap-ს.
2
1D tight-binding
t (hopping) და a (მესერი) პარამეტრებით — E(k) = -2t·cos(ka) დამოკიდებულება. t-ს გაზრდა → ზოლი ფართოვდება.
3
2-ზონიანი მოდელი
Δ=0 → მეტალი (ზონები გადაიფარება). Δ>0 → ნახევარგამტარი/იზოლატორი (აკრძალული ზონა = 2Δ)
4
VBM და CBM
VBM (Valence Band Maximum) — ვალენტური ზონის მაქსიმუმი. CBM (Conduction Band Minimum) — გამტარობის ზონის მინიმუმი. მათ შორის სხვაობა = Band Gap.
შედეგის ინტერპრეტაცია

მეტალი: ვალენტური და გამტარობის ზონები გადაიფარება — ელექტრონები თავისუფლად მოძრაობენ. ნახევარგამტარი: Band Gap 0.1–3 eV — ტემპერატურის ან განათების გავლენით გამტარობა იცვლება. იზოლატორი: Band Gap > 3 eV — ელექტრონები ვერ გადადიან გამტარობის ზონაში.

თვითშეფასება

Q1. რას ნიშნავს Band Gap?

A ზონის სიგანე
B ვალენტური და გამტარობის ზონებს შორის ენერგეტიკული სხვაობა
C ელექტრონის კინეტიკური ენერგია
D მესერის პარამეტრი

Q2. Si-ს Band Gap დაახლოებით რის ტოლია?

A 0.1 eV
B 3.5 eV
C 1.12 eV
D 9.0 eV

Q3. Tight-binding მოდელში t პარამეტრის გაზრდა რას იწვევს?

A ზოლის სიგანე იზრდება
B ზოლის სიგანე მცირდება
C Band Gap იზრდება
D არაფერი იცვლება