კვანტური ჰარმონიული ოსცილატორი

პარამეტრები

კუთხური სიხშირე ω (×10¹⁴ rad/s)

დონეების რაოდენობა

ნაწილაკის ტიპი

მასა (×10⁻³¹ kg)

ენერგეტიკული დიაგრამა

ტალღური ფუნქცია ψ(x)

ჰამილტონიანი

ჰარმონიული ოსცილატორი კვანტური მექანიკის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მოდელია. იგი აღწერს ნებისმიერ სისტემას, რომელიც წონასწორობის გარშემო მცირე რხევებს ასრულებს.

$$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 $$

ენერგეტიკული სპექტრი

ჰარმონიული ოსცილატორის ენერგეტიკული დონეები თანაბრადაა განაწილებული — ეს კვანტური ჭისგან განსხვავებული და უნიკალური თვისებაა:

$$ E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \ldots $$

მნიშვნელოვანი: ყველაზე დაბალი მდგომარეობის (n=0) ენერგია არ არის ნული — E₀ = ℏω/2. ეს არის "ნულოვანი რხევის ენერგია" — კვანტური მექანიკის ფუნდამენტური შედეგი.

ტალღური ფუნქციები

ტალღური ფუნქციები გამოიხატება Hermite პოლინომებით (Hₙ):

$$ \psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} H_n\!\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,x\right) e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}} $$

x₀ = √(ℏ/mω) — ოსცილატორის დამახასიათებელი სიგრძე. Hermite პოლინომები: H₀=1, H₁=2x, H₂=4x²-2, H₃=8x³-12x, ...

რეალური სისტემები

სისტემა	ω (rad/s)	ℏω (meV)
GaAs კვანტური წერტილი	~10¹³	~6.6
C-H ქიმიური ბმა	~9×10¹³	~59
H₂ მოლეკულა	~8×10¹⁴	~530
InAs კვანტური წერტილი	~5×10¹²	~3.3

ნაბიჯ-ნაბიჯ გზამკვლევი

სიხშირის შეყვანა

ω შეიყვანეთ ×10¹⁴ rad/s ერთეულებში. მაგ: 1.0 = 10¹⁴ rad/s (ტიპიური ელექტრონული სისტემა).

ნაწილაკის არჩევა

ელექტრონი — ნანოფიზიკისთვის. პროტონი — მოლეკულური ვიბრაციებისთვის. სხვა მასა — ნებისმიერი სისტემისთვის.

ენერგეტიკული დიაგრამა

გრაფიკზე ნახავთ პარაბოლურ პოტენციალს V(x) = ½mω²x² და მის შიგნით თანაბრად განაწილებულ დონეებს.

Hermite ტალღური ფუნქციები

n= ღილაკებით (n=0,1,2...) ნახავთ ψₙ(x)-ს. n=0 — გაუსიანი, n=1 — ერთი კვანძი, n=2 — ორი კვანძი და ა.შ.

შედეგის ინტერპრეტაცია

E₀ = ℏω/2 — ნულოვანი ოსცილაციის ენერგია, ნებისმიერ ტემპერატურაზე არსებობს. ΔE = ℏω — ყველა დონეს შორის ერთნაირი სხვაობა (კვანტური ჭისგან განსხვავებით, სადაც ΔE იზრდება). სიხშირის გაორმაგება → ენერგიები 2-ჯერ გაიზრდება.

თვითშეფასება

Q1. ჰარმონიული ოსცილატორის ძირეული მდგომარეობის (n=0) ენერგია რის ტოლია?

A 0

B ℏω

C ℏω/2

D 2ℏω

Q2. რა არის ჰარმონიული ოსცილატორის მეზობელ დონეებს შორის ენერგეტიკული სხვაობა?

A ℏω (მუდმივა)

B n·ℏω (იზრდება)

C ℏω/n (მცირდება)

D n²·ℏω

Q3. n=2 მდგომარეობის ტალღურ ფუნქციას რამდენი კვანძი (ნული) აქვს?

A 1

B 2

C 0

D 3