კვანტური ტრანსპორტი — NEGF (არაწონასწორული გრინის ფუნქცია)

კლასიკური ელექტროდინამიკა ნანომასშტაბზე ვეღარ მუშაობს. როდესაც გამტარის სიგრძე ელექტრონის კოჰერენტობის სიგრძეს (phase coherence length) უახლოვდება ან ჩამოუვარდება — ჩვეულებრივი ომის კანონი R = ρL/A ვეღარ ასახავს სინამდვილეს. ელექტრონი არ "იკარგება" კლასიკური გაფანტვებით, არამედ ქვანტური ტალღივით გადიდება გამტარზე — ნაწილობრივ ირეკლება, ნაწილობრივ გადიის. ნანომასშტაბზე — 10 ნმ-ზე ქვევით — ელექტრონი კვანტური ობიექტია: მას აქვს ფაზა, ის ინტერფერირებს და კოჰერენტულად გადის გამტარებს, ბარიერებს ტუნელირებს. ამ სისტემებში Ohm-ის კანონი ვარგებს ძალას. ამ ნაცვლად, ელექტრონ-გადაცემა ხდება კვანტურ-მექანიკური გადაბნეობის ამოცანა: მარცხენა კონტაქტ (lead) ინექციას ახდენს ელექტრონებს, ისინი სცდომით მარჯვენა კონტაქტამდე მიაღწევს, და Landauer ითვლის ამ პროცესის ალბათობას მ პარამეტრის ლბათობის ობიექტობას — გადაცემის კოეფიციენტს T(E). T=1 ნიშნავს სრულ გამტარობას (ბალისტური ტრანსპორტი); T=0 — სრულ ბლოკირებას. ნანომოწყობილობებში T(E) შეიძლება 0-სა და 1-ს შორის ნებისმიერ მნიშვნელობას მიიღებს. ლანდაუერ-ბიუტიკერის (Landauer–Büttiker) ფორმალიზმის ძირითადი იდეა: ელექტრული დენი = ელექტრონების ნაკადი, რომლებიც გადადიან მარცხენა lead-იდან (რეზერვუარიდან) მარჯვენა lead-ში გამტარი რეგიონის (scattering region) გავლით. ყველა ფიზიკა — ინტერფერენცია, ბარიერი, რეზონანსი — შეტანილია ერთ სიდიდეში: გადაცემის კოეფიციენტი T(E). I = G₀ × ∫ T(E) × [f_L(E) − f_R(E)] dE, სადაც f_L და f_R ფერმი-დირაკის განაწილებებია ორ lead-ში. ეს ფორმალიზმი 1957 წელს ლანდაუერმა (Rolf Landauer) შეიმუშავა და 1980-90-იან წლებში ბიუტიკერმა (Markus Büttiker) მრავალ კონტაქტზე განავრცო.

NEGF (Non-Equilibrium Green's Function — არაწონასწორული გრინის ფუნქცია) არის მათემატიკური აპარატი ლანდაუერ-ბიუტიკერის ფიზიკური სურათის განსახორციელებლად. სახელი "არაწონასწორული" (non-equilibrium) ნიშნავს, რომ სისტემა ორ სხვადასხვა ქიმიური პოტენციალის (μ_L ≠ μ_R) lead-ს შორისაა — ანუ მიმდინარეობს დენი და სისტემა თერმოდინამიკური წონასწორობიდან გამოყვანილია. NEGF-ის ფუძემდებლები არიან: ლევ კადანოვი (Leo Kadanoff) და გორდონ ბეიმი (Gordon Baym) 1962 წელს ("Quantum Statistical Mechanics"), ასევე ლ. ვ. კელდიში (Leonid Keldysh) 1965 წელს — მისი სახელობის Keldysh Green's Functions დღემდე ფუნდამენტური ხელსაწყოა. ნანოელექტრონიკაში NEGF-ი სუნდარ დატამ (Supriyo Datta, Purdue University) პოპულარიზება მოახდინა 1990-2000-იან წლებში "Electronic Transport in Mesoscopic Systems" (1995) წიგნით. NEGF-ი ლანდაუერ-ბიუტიკერს აღემატება: (1) შეუძლია ელექტრონ-ფონონური ურთიერთქმედების ჩართვა (inelastic scattering), (2) ელექტრონ-ელექტრონური კორელაციები (Coulomb blockade), (3) ატომური დეტალები — DFT+NEGF კომბინაცია (SIESTA, TranSIESTA, Quantum ESPRESSO + Wannier90) — ყველაზე ზუსტი მეთოდი ნანომოწყობილობების I(V) მახასიათებლების გამოსათვლელად.

Tight-binding (მჭიდრო-ბმის) მოდელი ყველაზე მარტივი და ფართოდ გამოყენებული მიახლოებაა ნანო-სტრუქტურის ჰამილტონიანის აგებისა. თითოეულ ატომს აქვს ერთი "ორბიტალი" (ბმის ენერგია ε₀), ხოლო მეზობელ ატომებს შორის კავშირი გადახტომის ინტეგრალი t (hopping integral). N ატომიანი ჯაჭვის ჰამილტონიანი N×N მატრიცაა:

სადაც ε₀ — ადგილობრივი ბმის ენერგია (on-site energy), t — გადახტომის ინტეგრალი მეზობელ ატომებს შორის. უსასრულო სუფთა 1D ჯაჭვის დისპერსიული დამოკიდებულება პერიოდულია: E(k) = ε₀ + 2t·cos(k), k ∈ [−π, π]. ზონის სიგანე = 4|t|. ამ კოდში სამი მოდელია: (1) სუფთა ჯაჭვი — ყველა ε₀ ერთნაირი; (2) ბარიერი — შუა მესამედის ε₀ ამაღლებულია 2|t|-ით, პოტენციალური ბარიერის ეფექტი; (3) რეზონანსული დონე — N=1, ერთი ატომი lead-ებს შორის. დისორდერი W > 0 შემთხვევაში ε₀-ს შემთხვევითი ფლუქტუაციები [-W/2, W/2] ემატება — Anderson ლოკალიზაციის ეფექტი.

გრინის ფუნქცია კვანტური მექანიკაში ოპერატორის "ინვერსიაა" — ის გვეუბნება, როგორ პასუხობს სისტემა გარე perturbation-ზე. კვანტური ტრანსპორტის კონტექსტში G^r(E) გვაძლევს ინფორმაციას ელექტრონის გავრცელებაზე სისტემაში ენერგიით E, lead-ების გავლენის ჩათვლით. lead-ების გავლენა H-ში lead-ების თვით-ენერგიებით შედის:

η — ინფინიტეზიმური დამატება (0⁺), ფიზიკურად მცირე "ბროდენინგია", ნომერიკული სტაბილურობისთვის. Wide-Band Limit (WBL) მიახლოებაში Σ_L,R = −iΓ_L,R/2, სადაც Γ_L,R — მომხმარებლის მიერ მოცემული კონსტანტებია. ეს ნიშნავს: lead-ების ზონა ბევრად გამტარია სისტემასთან შედარებით. Broadening მატრიცა Γ_L,R = i(Σ_L,R − Σ†_L,R) — Hermitian, დადებითი სემი-განსაზღვრული, ასახავს lead-ებთან კავშირის სიძლიერეს. G^a = (G^r)† — ადვანსირებული გრინის ფუნქცია, რეტარდირებულის ჰერმიტული კონიუგატია.

lead-ის თვით-ენერგია Σ_L,R წარმოადგენს ნახევარ-უსასრულო lead-ის გავლენას სასაზღვრო ატომზე. ანალიტიკური ფორმულა 1D tight-binding lead-ისთვის (ზედაპირის გრინის ფუნქციის გზით):

g_s(E) — lead-ის ზედაპირის გრინის ფუნქციაა. ფიზიკური ინტერპრეტაცია: (1) ზონის შიგნით (|E−ε₀| < 2|t|): Σ-ს წარმოსახვითი ნაწილი უარყოფითია — ელექტრონს სასრული სიცოცხლის ხანგრძლივობა აქვს lead-ში (გაედინება). (2) ზონის გარეთ: Σ რეალური ხდება — evanescent mode, ელექტრონი ექსპონენციურად კლებს. ეს ახსნის, რატომ არის T(E) = 0 ზონის გარეთ.

გადაცემის კოეფიციენტი T(E) ∈ [0,1] გვეუბნება, რამდენი ელექტრონი ენერგიით E გადაინაცვლებს მარცხენა lead-იდან მარჯვენაში. Caroli-ს ფორმულა (1971), NEGF-ის კლასიკური შედეგი: T(E) = Tr[Γ_L · G^r(E) · Γ_R · G^a(E)]. ეს ტრასა (Trace) უზრუნველყოფს T(E)-ის ინვარიანტობას საბაზისო ცვლილებების მიმართ. ფიზიკურად: Γ_L "ინიციირებს" ელექტრონს მარცხნიდან, G^r გადაიყვანს სისტემაში, Γ_R "ამოიღებს" მარჯვნიდან, G^a კომპლექს-კონიუგატი დახურავს წრეს.

ლანდაუერის (Landauer, 1957) ძირითადი შედეგი: G = G₀ · T, სადაც G₀ = 2e²/h ≈ 7.748×10⁻⁵ S — კვანტური გამტარობის კვანტი (factor 2 — სპინის გამო). ეს ნიშნავს: სრული გამტარობის (T=1) ნანომავთულს R = 1/G₀ ≈ 12.9 kΩ წინაღობა აქვს — კვანტური კონტაქტის წინაღობა (contact resistance), თვით მავთულის წინაღობის გარეშე! ტემპერატურის გათვალისწინებით გამტარობა არის T(E)-ის კონვოლუცია Fermi-Dirac ფუნქციის წარმოებულით:

სადაც μ_L = E_F + eV/2, μ_R = E_F − eV/2. f(E,μ,kT) = 1/(1+exp((E−μ)/kT)) — ფერმი-დირაკის განაწილება. T=0K ზღვარში: I = G₀ × ∫[μ_R to μ_L] T(E) dE. ეს ახსნის კვანტიზებული გამტარობის (quantized conductance) ეფექტს ნანომავთულებში: ყოველი ახალი ღია გამტარობის არხი G-ს G₀-ით ზრდის. ექსპერიმენტულად 1988 წელს B. J. van Wees-მა (Delft) და D. A. Wharam-მა (Cambridge) დამოუკიდებლად დაადასტურეს კვანტიზებული გამტარობა 2DEG (two-dimensional electron gas) point contact-ებში.

ლოკალური სიმკვრივე (Local Density of States, LDOS) გვეუბნება, რამდენი კვანტური მდგომარეობა არსებობს ენერგიით E ატომ i-ზე. ეს ფუნდამენტური სიდიდეა STM (Scanning Tunneling Microscopy) ექსპერიმენტებში — Tersoff-Hamann თეორიის მიხედვით, STM-ის ტოკი პირდაპირ ზედაპირის LDOS-ის პროპორციულია. NEGF-ში LDOS:

G^r_{ii}(E) — გრინის ფუნქციის i-ე დიაგონალური ელემენტი. Im[...] — წარმოსახვითი ნაწილი. −1/π — ნორმირების ფაქტორი (spectral function A = −2Im[G^r], LDOS_i = A_{ii}/(2π)). LDOS ჰიტმეფი (2D სურათი: x=ენერგია, y=ატომი) გვაჩვენებს ელექტრონების სივრცულ განაწილებას ენერგიის ფუნქციად. სუფთა ჯაჭვი: LDOS ყველა ატომზე ერთნაირია. ბარიერი: შუა ატომებზე LDOS ბარიერის ენერგიაზე კლებულობს — ტუნელირება. რეზონანსული დონე: ერთი მკვეთრი Lorentzian პიკი ε₀-ზე, სიგანე = Γ_L + Γ_R (Breit-Wigner რეზონანსი).

ძაბვის გამყენებისას (V ≠ 0) lead-ების ქიმიური პოტენციალები განსხვავდება: μ_L = E_F + eV/2, μ_R = E_F − eV/2. ლანდაუერ-ბიუტიკერის ფარგლებში:

dI/dV — დიფერენციალური გამტარობა — ექსპერიმენტულად უაღრესად მნიშვნელოვანი სიდიდეა. T=0K ზღვარში: dI/dV(V) ∝ T(E_F + eV/2) — ანუ dI/dV-ის სპექტრი პირდაპირ T(E)-ს ასახავს! ეს საფუძველია STS (Scanning Tunneling Spectroscopy) ტექნიკისა — ნანოსტრუქტურის ელექტრონული სპექტრი dI/dV(V)-ის სახით ექსპერიმენტულად გაიზომება. ამ კოდში I(V) გამოითვლება ნომერიკულად 50 ძაბვის წერტილში [0, V_max]. dI/dV — I(V)-ის ციფრული წარმოებული. ფიზიკური ინტერპრეტაციები: (1) ოჰმური (T=const): I ∝ V, dI/dV = const. (2) არარეზონანსული: I(V) — არარეგულარული, ნაბიჯებიანი (conductance steps). (3) NDR (Negative Differential Resistance — უარყოფითი დიფერენციალური წინაღობა): dI/dV < 0 — T(E) კლება ფანჯრის გახსნაზე სწრაფია; ეს ეფექტი resonant tunneling diode-ებში გამოიყენება.

ექსპერიმენტთან შედარება: STM dI/dV სპექტროსკოპია ზომავს ზუსტად LDOS(E)-ს. ნანო-ჯანქციების break junction ექსპერიმენტი ზომავს G(V)-ს. ეს კალკულატორი ახდენს ამ ექსპერიმენტების სიმულაციას tight-binding დონეზე.