კვანტური ჭა — ენერგეტიკული დონეები

ენერგეტიკული დონეების გამოთვლა და ტალღური ფუნქციების ვიზუალიზაცია

პარამეტრები
ენერგეტიკული დიაგრამა
ტალღური ფუნქცია ψ(x)
უსასრულო კვანტური ჭა

უსასრულო ჭაში ელექტრონი სრულად პოტენციალური ბარიერის შიგნით არის ლოკალიზებული. ენერგეტიკული სპექტრი დისკრეტულია და ანალიტიკური ფორმულით გამოითვლება:

$$ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) $$

სადაც: $n$ — კვანტური რიცხვი, $\hbar$ — შემცირებული პლანკის მუდმივა, $m$ — ელექტრონის მასა, $L$ — ჭის სიგანე

$$ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) $$
სასაზღვრო კვანტური ჭა

სასაზღვრო ჭაში პოტენციური ბარიერი სასრულია (V₀). შრედინგერის განტოლება რიცხვითი მეთოდით (brentq) გადაიჭრება:

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi $$

სასაზღვრო ჭა მხოლოდ შეზღუდული რაოდენობის შეკრულ მდგომარეობებს შეიცავს. ელექტრონი ბარიერის გარეთაც "გაჟონავს" — ეს კვანტური გვირაბის ეფექტია.

რეალური სისტემები
სისტემა L (nm) V₀ (eV) E₁ (eV)
GaAs კვანტური ჭა100.3~0.006
Si/SiO₂ ჭა53.1~0.09
InGaAs/InP ჭა80.5~0.015
მარტივი მოდელი1∞~0.376
ნაბიჯ-ნაბიჯ გზამკვლევი
1
ჭის ტიპის არჩევა
უსასრულო ჭა — მარტივი მოდელი, ანალიტიკური ამოხსნით. სასაზღვრო ჭა — რეალისტური, SciPy root-finding-ით.
2
სიგანის შეყვანა
L შეიყვანეთ ნანომეტრებში. რეალური კვანტური ჭები: 1–20 nm. მცირე L → მაღალი ენერგიები.
3
გამოთვლა
"გამოთვლა" ღილაკი VPS-ზე Python/SciPy-ს გაუშვებს. შედეგი eV-ში დაბრუნდება.
4
ენერგეტიკული დიაგრამა
მარჯვნივ ნახავთ ჭის გრაფიკულ გამოსახულებას ენერგეტიკური დონეებით. Plotly-ს ინტერაქტიული ფუნქციები (zoom, hover) ხელმისაწვდომია.
5
ტალღური ფუნქცია
n= ღილაკებით აირჩიეთ კვანტური რიცხვი. გრაფიკი ψₙ(x) და |ψₙ|²-ს (ალბათობის სიმკვრივე) აჩვენებს.
შედეგის ინტერპრეტაცია

E₁ — ძირეული მდგომარეობის ენერგია (ნულოვანი ოსცილაციის ენერგია). ენერგეტიკული დონეები n²-ის პროპორციულია უსასრულო ჭაში. L გაორმაგება → E₁ 4-ჯერ მცირდება. სასაზღვრო ჭა ნაკლებ დონეს შეიცავს, ვიდრე უსასრულო — ბარიერის სიმაღლეზეა დამოკიდებული.

თვითშეფასება

Q1. უსასრულო კვანტური ჭაში L სიგანე 2-ჯერ გაიზარდა. რა მოხდება E₁-თან?

A 2-ჯერ გაიზრდება
B 4-ჯერ შემცირდება
C არ შეიცვლება
D 2-ჯერ შემცირდება

Q2. კვანტური ჭის ენერგეტიკული დონეები რომელ სიდიდეზეა დამოკიდებული?

A მხოლოდ ჭის სიგანეზე
B მხოლოდ ნაწილაკის მასაზე
C ჭის სიგანეზე, ნაწილაკის მასაზე და კვანტურ რიცხვზე
D მხოლოდ კვანტურ რიცხვზე

Q3. n=1 და n=2 მდგომარეობებს შორის ენერგეტიკული სხვაობა E₁-ზე რამდენჯერ მეტია?

A 3E₁
B 2E₁
C E₁
D 4E₁