გრაფენი

პარამეტრები

რეჟიმი

k-წერტილების რაოდენობა

ზონური სტრუქტურა E(k)

1. რა არის გრაფენი?

გრაფენი არის ნახშირბადის ატომების ერთშრიანი სტრუქტურა — ფაქტობრივად ერთი ატომის სისქის ფურცელი, სადაც ატომები თაფლის ფიჭის (honeycomb) მსგავსი სისტემის სახით არიან განლაგებულნი. 2004 წელს მანჩესტერის უნივერსიტეტში ანდრე გეიმმა და კონსტანტინ ნოვოსელოვმა გრაფენი პირველად გამოყვეს გრაფიტიდან — ამ აღმოჩენისთვის მათ 2010 წელს ნობელის პრემია მიენიჭათ ფიზიკაში. გრაფენი არის ყველა სხვა ნახშირბადული ალოტროპის საფუძველი: გრაფიტი (შრეები), ნახშირბადის ნანომილი (გრაგნილი), ბუკმინსტერფულერენი (სფერო).

როგორ გამოყვეს? — "სკოჩის ლენტის მეთოდი" (micromechanical exfoliation): გრაფიტს სკოჩის ლენტს მიაკრავდნენ, შემდეგ ლენტს გრაფიტისგან მოაცილებდნენ (აახევდნენ) — ლენტზე გრაფიტის რამდენიმე შრე რჩებოდა. შემდეგ ამ იმავე ლენტს კვლავ ნახევრად კეცავდნენ და გაშლიდნენ, ყოველ ჯერზე შრეები ორად იყოფოდა. ამ პროცედურას ათობით ჯერ იმეორებდნენ, სანამ ლენტზე ერთი ატომის სისქის შრე — გრაფენი — არ დარჩებოდა. ნობელის კომიტეტი ხუმრობდა, რომ ნობელის პრემია "სკოჩის ლენტით" მოიგეს. 😄

a_cc	C-C ბმის სიგრძე = 1.42 Å
a	მესრის მუდმივა = √3·a_cc = 2.46 Å
γ₀	გადახტომის ინტეგრალი = 2.7 eV
v_F	ფერმის სიჩქარე ≈ 10⁶ m/s (c/300)

2. კრისტალური სტრუქტურა

გრაფენის honeycomb მესერი ბრავეს მესერი არ არის — იგი შედგება ორი ამოზნექილი სამკუთხა ქვე-მესრისგან (A და B ქვე-მესერი). ერთეულ უჯრედში 2 ატომია. მესრის ვექტორები:

$$ \mathbf{a}_1 = a\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\,\frac{1}{2}\right), \qquad \mathbf{a}_2 = a\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\,-\frac{1}{2}\right) $$

მაღალი სიმეტრიის წერტილები: Γ — ბრილუენის ზონის ცენტრი, K, K' — ბრილუენის ზონის კუთხეები (დირაკის წერტილები), M — კიდის შუა წერტილი.

3. Tight-Binding მოდელი და დისპერსია

გრაფენის ელექტრონები ძირითადად π-ელექტრონებია (p_z ორბიტალი). უახლოეს მეზობლებთან ურთიერთქმედების ჰამილტონიანი:

$$ \hat{H} = -\gamma_0 \sum_{\langle i,j \rangle}\!\left(a_i^\dagger b_j + b_j^\dagger a_i\right) $$

დისპერსიული რელაცია:

$$ E_\pm(\mathbf{k}) = \pm\gamma_0\sqrt{3 + 2\cos(k_y a) + 4\cos\!\left(\frac{\sqrt{3}k_x a}{2}\right)\cos\!\left(\frac{k_y a}{2}\right)} $$

+ ნიშანი — გამტარობის ზონა (π*), − ნიშანი — ვალენტური ზონა (π). K წერტილში ორივე ნიშანი ნულს იძლევა — დირაკის წერტილი.

4. დირაკის კონუსი

K წერტილთან ახლოს ($\mathbf{k} = \mathbf{K} + \mathbf{q}$, $|\mathbf{q}| \ll |\mathbf{K}|$) დისპერსია ხდება ხაზოვანი:

$$ E_\pm(\mathbf{q}) \approx \pm\hbar v_F|\mathbf{q}|, \qquad v_F = \frac{\sqrt{3}\,\gamma_0\,a}{2\hbar} \approx 10^6\,\text{m/s} $$

ეს ხაზოვანი დისპერსია ნიშნავს, რომ ელექტრონები გრაფენში იქცევიან როგორც უმასო რელატივისტური ნაწილაკები — დირაკის ფერმიონები. ჩვეულებრივ ნახევარგამტარებში E ∝ k², გრაფენში E ∝ k. ამიტომ ეფექტური მასა m* → 0, მობილობა უზარმაზარია.

5. მდგომარეობათა სიმკვრივე (DOS)

დირაკის კონუსის ახლოს DOS ხაზოვანია ენერგიის მიმართ:

$$ D(E) = \frac{2|E|}{\pi(\hbar v_F)^2} \cdot A_{uc} $$

D(E=0) = 0 — Dirac წერტილში DOS ნულია (განსხვავებით ლითონებისგან). გრაფენი ნახევარ-ლითონია (semimetal). ვან-ჰოვის სინგულარობები E = ±γ₀ = ±2.7 eV-ზე (M წერტილი) — DOS-ის მკვეთრი პიკები, სადაც ∇_k E = 0.

6. გრაფენის ნანოლენტი (Graphene Nanoribbon)

გრაფენის ვიწრო ზოლი — ნანოლენტი — ზომის შეზღუდვის გამო სხვა ელექტრონული თვისებები აქვს. კიდის გეომეტრია განსაზღვრავს ელ. სტრუქტურას:

კიდე	კიდის მდგ.	აკრძ. ზონა	ტიპი
Zigzag	✓ სიბრტყული ზონები E=0-ზე	0 eV	მეტალური
Armchair (N=3m−1)	✗	0 eV	მეტალური
Armchair (სხვა N)	✗	~0.8/W eV	ნახევარგამტარი

$$ E_g \approx \frac{0.8\,\text{eV·nm}}{W}, \qquad W = N \cdot a_{cc} \quad (\text{armchair}) $$

7. სიდიდეთა ცხრილი

γ₀ = 2.7 eV	გადახტომის ინტეგრალი (nearest-neighbor)
v_F ≈ 10⁶ m/s	ფერმის სიჩქარე = √3γ₀a/2ℏ
K, K'	დირაკის წერტილები — ვალ./გამტ. ზონა ეხება
VHS	ვან-ჰოვის სინგულარობა — E = ±γ₀, ±3γ₀
μ > 200,000 cm²/V·s	ელ. მობილობა (Si-ზე ~150× მეტი)
~5000 W/m·K	სითბოგამტარობა (Cu-ზე ~10× მეტი)
~97.7%	სინათლის გამჭვირვალობა (ერთი შრე)

8. გრაფენი vs Si — შედარება

თვისება	Graphene	Si
აკრძალული ზონა	0 eV	1.12 eV
ელ. მობილობა	~200,000 cm²/V·s	~1,400 cm²/V·s
სითბოგამტ.	~5000 W/m·K	~150 W/m·K
სიმტკიცე	~130 GPa	~130 GPa
გამჭვირვ.	97.7%	—

9. გამოყენება

ელექტრონიკა	ტრანზისტორები, სენსორები, ფლექსიბლური ეკრანები
ენერგია	სუპერკაპაციტორები, LiB ელექტროდები, სოლარული
ბიომედიცინა	წამლის მიტანა, ბიოსენსორები, ანტიბაქტ. საფარი
კომპოზიტები	მსუბუქი, გამძლე მასალები — კოსმოსი, ავია
ოპტიკა	ფოტოდეტექტორები, ITO-ს შემცვლელი

დამწყებთათვის

ნაბიჯი 1 — ზონური სტრუქტურა
გამოთვალეთ ზონური სტრუქტურა. შეამჩნიეთ: Γ წერტილში E = ±8.1 eV (= ±3γ₀), M წერტილში E = ±2.7 eV (= ±γ₀), K წერტილში E = 0 — დირაკის კვანძი.

ნაბიჯი 2 — DOS
გადართეთ DOS-ზე. შეამჩნიეთ: E = 0-ზე DOS = 0 (ნახევარ-ლითონი). E = ±2.7 eV-ზე პიკები — ვან-ჰოვის სინგულარობები M წერტილში.

ნაბიჯი 3 — ნანოლენტი
გადართეთ ნანოლენტზე. შეადარეთ zigzag და armchair: zigzag-ზე E = 0-ზე სიბრტყული ზონა ჩანს (კიდის მდგომარეობები). Armchair N=9-ზე აკრძალული ზონა გაიხსნება.

პროფესიონალთათვის

Armchair N-ის პარიტეტი
სცადეთ N = 8, 9, 10, 11, 12. შეამჩნიეთ: N = 8 (= 3×3-1) — მეტალური, N = 9 — ნახევარგამტარი, N = 11 (= 3×4-1) — მეტალური. N mod 3 == 2 ყოველთვის მეტალურია.

კიდის მდგომარეობები
Zigzag ნანოლენტში E = 0 ზონა K-დან K'-მდე გადაჭიმულია. ეს ზონები ლოკალიზებულია კიდეებზე — ბულკში ნულია. ამ მდგომარეობებს მაგნიტური მომენტი შეიძლება ჰქონდეთ (zigzag კიდის ფერომაგნიტური სტაბილობა).

გრაფენი — ტესტი

1. რატომ არის გრაფენი ნახევარ-ლითონი და არა ჩვეულებრივი ნახევარგამტარი?

2. Zigzag ნანოლენტის ზონურ სტრუქტურაში E = 0-ზე სიბრტყული ზონა:

3. DOS-ის ვან-ჰოვის სინგულარობები გრაფენში სად ჩანს?

4. Armchair ნანოლენტი N = 11-ზე (= 3×4-1):