კრისტალური სტრუქტურები

პარამეტრები

კრისტალური სტრუქტურა

ელემენტარული უჯრედი — კრისტალის განმეორებადი ბლოკი (3D)

ფიზიკური ინტუიცია — რატომ ქმნიან ატომები კრისტალებს?

კრისტალი წარმოიქმნება მაშინ, როდესაც ატომებს შორის მოქმედი ძალები — ქიმიური ბმები, ელექტროსტატიკური ურთიერთქმედება, ვან დერ ვაალსის ძალები — სისტემას ერთიანი, მოწესრიგებული სტრუქტურის მიღებისკენ "უბიძგებს". ეს სტრუქტურა ყველაზე დაბალ ენერგეტიკურ მდგომარეობას შეესაბამება. ატომები სივრცეში ისე ლაგდება, რომ მათი ურთიერთქმედების ენერგია მინიმალური იყოს — ეს კრისტალური მესრის "ლოგიკაა". განსხვავებული ატომები, განსხვავებული ბმები — განსხვავებული სტრუქტურები: FCC სპილენძი, BCC რკინა, ალმასის სტრუქტურის ნახშირბადი — ყველა ამ "ლოგიკის" შედეგია.

ისტორიული კონტექსტი

1784 — რენე ჟუსტ ჰაიუმ (René Just Haüy) პირველად შემოიღო კრისტალური მესრის კონცეფცია — კრისტალი შედგება ელემენტარული "ბლოკებისგან". 1848 — ოგიუსტ ბრავემ (Auguste Bravais) დაადგინა, რომ სამგანზომილებიან სივრცეში შესაძლებელია მხოლოდ 14 სახის პერიოდული მესერი (ბრავეს მესრები). 1912 — მაქს ფონ ლაუემ (Max von Laue) რენტგენული სხივებით კრისტალის დიფრაქცია აღმოაჩინა — ეს იყო პირველი პირდაპირი მტკიცებულება კრისტალური სტრუქტურის შესახებ (ნობელის პრემია 1914). 1913 — უილიამ ბრეგმა (William Bragg) ბრეგის კანონი ჩამოაყალიბა: 2d·sin(θ) = nλ — ეს ფორმულა დღემდე გამოიყენება კრისტალოგრაფიაში.

მათემატიკური აპარატი — ბრავეს მესერი

კრისტალური მესერი განისაზღვრება სამი პრიმიტიული ვექტორით a₁, a₂, a₃. ნებისმიერი მესრის კვანძი მიიღება:

$$ \vec{R} = n_1\vec{a}_1 + n_2\vec{a}_2 + n_3\vec{a}_3 \quad (n_1, n_2, n_3 \in \mathbb{Z}) $$

სადაც n₁, n₂, n₃ — მთელი რიცხვები. ეს სამი ვექტორი განსაზღვრავს ელემენტარულ უჯრედს — კრისტალის ყველაზე პატარა პერიოდულ ერთეულს. შებრუნებული სივრცის მესრი (რეციპროკული მესერი) განისაზღვრება ვექტორებით b₁, b₂, b₃:

$$ \vec{a}_1 \cdot \vec{b}_1 = 2\pi, \quad \vec{a}_1 \cdot \vec{b}_2 = 0, \quad \vec{a}_1 \cdot \vec{b}_3 = 0 $$

რეციპროკული მესერი ფიზიკაში გამოიყენება დიფრაქციის, ზონური სტრუქტურის და k-სივრცის აღსაწერად.

სიდიდეთა ცხრილი

სიმბოლო	სახელი	ერთეული	დამახასიათებელი მნიშვნელობა
a, b, c	მესრის პარამეტრები	nm, Å	0.1–1 nm
α, β, γ	მესრის კუთხეები	°	60°–120°
Z	ატომთა რაოდენობა უჯრედში	—	1–8
CN	კოორდინაციული რიცხვი — უახლოეს მეზობელ ატომთა რაოდენობა	—	4, 6, 8, 12
APF	ატომთა განლაგების ფაქტორი (APF) — ატომებით დაკავებული მოცულობის წილი	%	34–74%
d_hkl	სიბრტყეთაშორისი მანძილი	nm	0.05–0.5 nm
θ_B	ბრეგის კუთხე	°	5°–85°

ბრავეს მესრები და კრისტალური სტრუქტურები

სამგანზომილებიან სივრცეში არსებობს მხოლოდ 14 ბრავეს მესერი, 7 კრისტალური სისტემაში. ყველაზე გავრცელებული კუბური სტრუქტურები:

სტრუქტურა	აბრევიატურა	CN	APF (%)	მაგალითები
SC — მარტივი კუბური	SC	6	52	Po
BCC — სხეულცენტრული კუბური	BCC	8	68	Fe, W, Mo
FCC — წახნაგცენტრული კუბური	FCC	12	74	Al, Cu, Au
ალმასის სტრუქტურა (Diamond)	DC	4	34	C, Si, Ge
HCP — ჰექსაგონური მჭიდრო განლაგება	HCP	12	74	Mg, Ti, Zn
NaCl — სუფრის მარილის სტრუქტურა	NaCl	6	79	NaCl, MgO

მილერის ინდექსები (hkl) — კრისტალოგრაფიული სიბრტყეები

მილერის ინდექსები (h,k,l) — მთელი რიცხვები, რომლებიც კრისტალის სიბრტყის ორიენტაციას განსაზღვრავს. სიბრტყე (hkl) კვეთს მესრის ღერძებს a/h, b/k, c/l წერტილებში. სიბრტყეთაშორისი მანძილი კუბური სისტემისთვის:

$$ d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}} \quad \text{(კუბური სისტემა)} $$

h, k, l — მილერის ინდექსები. a — მესრის პარამეტრი. d_hkl — მოიცავს ყველა პარალელური სიბრტყის ნაკრებს.

$$ 2d_{hkl}\sin\theta_B = n\lambda \quad \text{(ბრეგის კანონი)} $$

ბრეგის კანონი (1913): 2d_hkl·sin(θ_B) = nλ — სადაც θ_B ბრეგის კუთხეა, λ რენტგენული სხივის ტალღის სიგრძე, n მთელი რიცხვი (დიფრაქციის რიგი). ეს კანონი კრისტალოგრაფიის საფუძველია.

კავშირი სხვა მოდულებთან

კრისტალური სტრუქტურა → ზონური სტრუქტურა: მესრის პარამეტრი a პირდაპირ განსაზღვრავს ბრილუენის ზონის ზომას (π/a) და tight-binding მოდელის E(k) დისპერსიას. კრისტალური სტრუქტურა → DFT: DFT გამოთვლა ყოველთვის იწყება კრისტალური სტრუქტურის განსაზღვრით — ატომების კოორდინატებით ელემენტარულ უჯრედში. კრისტალური სტრუქტურა → ნანოფიზიკა: Si-ის ალმასის სტრუქტურა განსაზღვრავს მის ნახევარგამტარულ თვისებებს; GaAs-ის ზინკბლენდის სტრუქტურა — მის ოპტოელექტრონულ თვისებებს.

რეალური გამოყენება

რენტგენული კრისტალოგრაფია (XRD): ბრეგის კანონის გამოყენებით ვსაზღვრავთ კრისტალის სტრუქტურას — ამ მეთოდით განისაზღვრა DNА-ს სტრუქტურა (1953, ვოტსონი და კრიკი). ნახევარგამტარული მოწყობილობები: Si-ის, GaAs-ის კრისტალური სტრუქტურა საფუძველია ყველა ელექტრონული მოწყობილობის. ნანოტექნოლოგია: კვანტური წერტილები, ნანომავთულები — კრისტალური სტრუქტურის ნანომასშტაბური კონტროლი. მასალათმცოდნეობა: FCC/BCC სტრუქტურა განსაზღვრავს ლითონის სიმტკიცეს, პლასტიკურობას, გამტარობას.

ნაბიჯ-ნაბიჯ გზამკვლევი

3D სტრუქტურა

სტრუქტურის ჩამოსაშლელი მენიუდან აირჩიეთ (FCC, BCC და ა.შ.) — გამოჩნდება ინტერაქტიური 3D მოდელი. გრაფიკი შეგიძლიათ ატრიალოთ, გაადიდოთ.

FCC vs BCC vs SC

FCC: 4 ატომი უჯრედში, CN=12, APF=74% — ყველაზე მჭიდრო განლაგება. BCC: 2 ატომი, CN=8, APF=68%. SC: 1 ატომი, CN=6, APF=52% — ყველაზე "ფხვიერი".

2D ბრავეს მესერი

"2D მესერი" ჩანართში — 5 სახის 2D მესერი. ყვითელი ვექტორი a₁, მწვანე ვექტორი a₂ — ეს არის ელემენტარული უჯრედის ბაზისური ვექტორები.

მილერის ინდექსები

h, k, l ველებში შეიყვანეთ ინდექსები (0-5). (100) — კუბის წახნაგი; (110) — დიაგონალური სიბრტყე; (111) — "ოქტაედრული" სიბრტყე. d_hkl და ბრეგის კუთხე ავტომატურად გამოთვლება.

ბრეგის კუთხე

Cu Kα გამოსხივებისთვის (λ=0.154 nm) გამოითვლება ბრეგის კუთხე. თუ sin(θ) > 1 — დიფრაქცია შეუძლებელია (სიბრტყე ძალიან ახლოს არის).

შედეგის ინტერპრეტაცია

APF (ატომთა განლაგების ფაქტორი) — რაც მეტია, მით მჭიდრო სტრუქტურა. FCC და HCP ყველაზე მჭიდროა (74%). CN (კოორდინაციული რიცხვი) — უახლოეს მეზობელ ატომთა რაოდენობა; მეტი CN → მეტი ბმა → ძლიერი, მაგრამ ნაკლებ პლასტიკური მასალა. ალმასის სტრუქტურა ყველაზე "ფხვიერია" (APF=34%) — sp³ ჰიბრიდული ბმები 4 მიმართულებით.

თვითშეფასება

Q1. FCC სტრუქტურას რამდენი ატომი აქვს ელემენტარულ უჯრედში?

A 1

B 2

C 4

D 8

Q2. ბრეგის კანონი რომელ პროცესს აღწერს?

A ელექტრონების გადახტომას

B რენტგენული სხივების დიფრაქციას კრისტალზე

C ფოტოელექტრულ ეფექტს

D ატომთა ვიბრაციას

Q3. Si-ს კრისტალური სტრუქტურა რომელ ტიპს მიეკუთვნება?

A ალმასის სტრუქტურა (Diamond)

B FCC

C BCC

D HCP

Q4. FCC და HCP სტრუქტურების APF (ატომთა განლაგების ფაქტორი) ერთნაირია. რა არის ეს მნიშვნელობა?

A 52%

B 68%

C 34%

D 74%